الصف التاسع · منهاج البچروت
ملخّص الهندسة — متوازي الأضلاع وشبه المنحرف
تجميع لأهم النظريات والخصائص الخاصة بمتوازي الأضلاع وشبه المنحرف، مع شروط الإثبات والحالات الخاصة والصيغ المتعلّقة بالمساحة وخطّ المنتصف.
متوازي الأضلاع
متوازي الأضلاع هو رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان. تنبع منه مجموعة من الخصائص والنظريات المهمّة:
خصائص متوازي الأضلاع (نظريات مباشرة)
- في متوازي الأضلاع كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول.
- في متوازي الأضلاع كل زاويتين متقابلتين متساويتان.
- في متوازي الأضلاع كل زاويتين متجاورتين متكاملتان (مجموعهما 180°).
- في متوازي الأضلاع ينصّف كل قطر القطر الآخر (القطران يتلاقيان في منتصفيهما).
- كل قطر يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلّثين متطابقين.
- القطران يقسمان متوازي الأضلاع إلى أربعة مثلّثات متساوية في المساحة.
شروط إثبات أنّ الرباعي متوازي أضلاع
- إذا كان في الرباعي كل ضلعين متقابلين متوازيين فهو متوازي أضلاع (التعريف).
- إذا كان في الرباعي كل ضلعين متقابلين متساويين فهو متوازي أضلاع.
- إذا كان في الرباعي ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان فهو متوازي أضلاع.
- إذا كان في الرباعي كل زاويتين متقابلتين متساويتين فهو متوازي أضلاع.
- إذا كان في الرباعي قطراه ينصّف كل منهما الآخر فهو متوازي أضلاع.
حالات خاصة من متوازي الأضلاع
- المستطيل: متوازي أضلاع فيه زاوية قائمة (وبالتالي كل زواياه قائمة) وقطراه متساويان.
- المعيّن: متوازي أضلاع فيه ضلعان متجاوران متساويان (وبالتالي كل أضلاعه متساوية)، وقطراه متعامدان وينصّفان زواياه.
- المربّع: متوازي أضلاع هو مستطيل ومعيّن في آنٍ واحد — أضلاعه متساوية، زواياه قائمة، وقطراه متساويان ومتعامدان وينصّفان زواياه.
شبه المنحرف
شبه المنحرف هو رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان فقط (يُسميان القاعدتين)، والضلعان الآخران يُسميان الساقين.
خصائص شبه المنحرف العامّة
- القاعدتان في شبه المنحرف متوازيتان وغير متساويتين عادةً.
- مجموع كل زاويتين على نفس الساق يساوي 180° (زاويتان داخليتان بين متوازيين وقاطع).
- القطعة الواصلة بين منتصفي الساقين (المتوسّط/خط المنتصف) موازية للقاعدتين وطولها يساوي نصف مجموع القاعدتين: m = (a + b) / 2.
- القطعة الواصلة بين منتصفي القطرين موازية للقاعدتين وطولها يساوي نصف الفرق بين القاعدتين: (a − b) / 2.
شبه المنحرف المتساوي الساقين
- تعريف: شبه منحرف ساقاه متساويان في الطول.
- الزاويتان عند كل قاعدة متساويتان (زاويتا القاعدة الكبرى متساويتان، وكذلك زاويتا القاعدة الصغرى).
- قطرا شبه المنحرف المتساوي الساقين متساويان في الطول.
- محور التماثل في شبه المنحرف المتساوي الساقين هو العمود المنصِّف للقاعدتين.
- إذا تساوت زاويتا القاعدة في شبه منحرف، أو تساوى قطراه، فهو متساوي الساقين.
شبه المنحرف القائم
- تعريف: شبه منحرف فيه ساق عمودي على القاعدتين، أي يحتوي زاويتين قائمتين متجاورتين.
- ارتفاع شبه المنحرف القائم يساوي طول الساق العمودي على القاعدتين.
مساحة شبه المنحرف
- مساحة شبه المنحرف = ((مجموع القاعدتين) × الارتفاع) ÷ 2، أي S = (a + b) · h / 2.
- يمكن أيضًا حسابها كحاصل ضرب خط المنتصف في الارتفاع: S = m · h.
بالتوفيق 🌷